精彩课堂源于备课转“形”
———以苏教版《数学２》“直线的方程（点斜式）”
为例 徐进勇
（江苏省海州高级中学２２２０２３）
数学教学是数学活动的教学，是学生在各种 数学活动中生成、拓展、提升与交流数学活动经 验的过程，同时也是获得数学基础知识、基本技 能与基本思想的过程．精彩的数学课堂需要恰 当、适切的数学活动．数学活动的创设，源于对 知识本源的追寻，对现实需要的追踪，对内在动 因的追问，以此实现把学术形态回归到原生形 态，把原生形态建构为教育形态，最终将教育形 态打造为活动形态．本文以苏教版数学２“直线 的方程（点斜式）”为例，探索教师在备课过程中 如何把握这四种形态及如何实现形态间的转变． １立足于学术形态
数学教材是教学活动的重要“蓝本”，是思想 之基，方法之源．备课时，老师要认真研读教 材，理解教学内容，明确教学目标，把握重难点 与教学要求，厘清知识发生发展的前因后果，思 考有利于培养学生哪些数学思维能力等．只有精 心的研究，才能为恰当的教学活动“保驾护航”． １．１研究教材，把握整体
“直线的方程（点斜式）”是学生学完斜率知识 后学习直线的方程第一节课，是斜率公式应用的 延伸，是学习直线的方程其它形式的基础，也是 学生逐步理解解析几何的开始．教材从学生熟悉 的直线的“形”入手，转为用斜率进行“数”的表 达，反过来再分析所得“数集”与原图形的对应关 系，过程中体现求直线的方程实际上就是求直线 上点的横坐标与纵坐标之间所满足的一个等量关 系，体现的是用直接法求曲线的轨迹方程．因 此，让学生经历几何问题代数化、代数形式几何 化的转变过程是教学关键，理解直线的点斜式方 程及形成过程是教学重点，正确认识新出现的 “直线的方程”概念是教学难点．通过本节课学 习，要让学生达到：理解直线的点斜式、斜截式 方程，能根据条件熟练地求出直线的方程；知道 直线点斜式方程适用条件，能全面考虑问题；探
求直线的方程过程中，感受直线的方程与直线之 间的对应关系，体会数形结合思想． １．２分析过程，明确思路
“直线的方程（点斜式）”的内容编排，教材采 用从特殊到一般，再从一般到特殊的顺序，符合 学生的认知特点，学生易于掌握．教材首先从特 定直线入手，提出直线上点的坐标应满足什么条 件，借助直线的斜率公式得等量关系，使学生获 得“直线的方程”初步感知，然后推广到一般情 况，提出“直线的方程”概念及直线的点斜式方 程，转为对“直线的方程”的理性认识，最后再研 究特殊情况，当直线与ｘ轴垂直时怎样写直线方 程，当过点（０，ｂ）时直线方程又有何特点，使学 生进一步认识理解“直线的方程”的形式与本质． 教师备课时，要从数学学科视角阅读教材， 弄清楚数学概念、命题、公式的来龙去脉，把其 承载的数学知识、思想方法提取出来，掌握其精 髓，把握其本质，理解其内涵，才可能把编者的 意图与思想在教学中体现出来，这才是真正体现 教者本色的教学.
２把学术形态回归到原生形态
所谓知识“原生形态”，一是指知识的产生与 发展要合情、合理、自然，二是要符合学生的认 知发展规律．教师要善于追溯前人发现的历程， 把凝结在概念、定理、公式中的思维打开，把前 人是怎样思考的、如何突破的方法进行借鉴、创 新，内化为自己再发现、再创造的方法，要善于 使用富于归纳、类比、联想的合情推理，为知识 的建构提供思路和方向．只有这样，数学教学才 能是自然的．正如美国数学家Ｇ·波利亚认为： 教师最重要的任务之一是帮助他的学生，最好是 顺其自然帮助学生．何为顺其自然？就是在知识 的发生、发展过程中要充分挖掘学生中出现的思 维亮点，分析正确性或不妥之处，因势利导地帮 助学生的思维“水到渠成”． ２．１回归学情，以学论教
贴近学生实际，尊重学生的认知基础，是学 生获得体验、产生学习数学情感的开始，要在学 生现有发展区和最近发展区上多思考．学生已掌 握斜率概念与计算公式，明确直线的位置既可由 两点唯一确定，也可以由一点和一个方向来确 定，为学习“直线的方程”奠定了知识性基础；学 生接触过“数形结合”思想，但对“数”与“形”要求 的对应关系尚不明确，需要教师指导，在说明
“直线上点的坐标都满足方程，以方程的解为坐 标的点都在直线上”时，教师可借助几何画板任 意取点帮助学生获得初步认识，并在以后的学习 中逐步加深理解；通过必修１函数的学习，学生 具备了一定的抽象与概括、归纳与演绎的数学能 力，为直线方程的建立提供思维保障．基于以上 分析，本节课可采用问题引领下的探究式教学， 从学生对直线的认知基础出发通过设计相关问 题，让学生操作、体会，启发学生思考，促进学 生对“直线的方程”概念的自主建构，通过教师引 领，在学生探究活动中，让学生获得新知，积累 方法，熟练掌握直线的方程的写法，同时培养学 生研究和创新意识．
２．２创设情境，以疑导学
本节课可以先设置生活情境（多媒体展示）： 生活中，我们经常会看到一些美妙的图像，比如 绚烂的激光束，比如飞逝的流星形成的美丽的弧 线，而这些红外线、流星的弧线可以看做是满足 某种运动规律的点的集合．那么在平面直角坐标 系中，直线是否也可以看做是满足某种条件的点 的集合呢？本节课正是围绕这个疑问来构建“直 线的方程”概念形成的思维链，从而引发一连串 学生可能提出的问题，师生在解决这些问题的过 程中，自然建构数学．教师备课时要尊重学生原 始思维，沿着知识自然生成的轨迹，把教材中静 止的结论还原为原始的动态生成过程，为学生构 建前后一致、逻辑连贯的思维链，从而引领学生 经历感知、抽象、概括它们的共同本质属性的 过程．
３把原生形态建构为教育形态
数学教学应该围绕着数学问题进行；数学教 学过程应该组织为提出问题和解决问题的过程； 应该把有没有问题，有没有激发出学生的思维活 动当成评价教学活动成功与否的主要标准．因 此，数学课堂教学设计的理念应完成由知识主线 到思维活动主线再落实到问题为主线的转变．理 解本节课的内容，可设计以下问题．
问题１回顾在平面内，确定一条直线需要 什么条件？
问题２已知直线上的一个点和斜率如何画
出这条直线？请画出经过点Ａ（１，３），斜率为２ 的直线ｌ，并说出你的作法．
问题３不同学生找的点不同，但画出的直 线是相同的，为什么会有这样的结果？这些点的
坐标的有什么特征吗？
问题４还有其它描点方法吗？（预设可能
y-3=2，给ｘ一个 会有学生会根据斜率公式x-1值，求出ｙ，就可以找到一个点）
问题５所作直线ｌ上的点的坐是否都满
标
y-3=2？ 足方程x-1问题６直线ｌ上点的坐标与方程ｙ－３＝ ２（ｘ－１）的解有什么样的关系？
问题７直线ｌ经过点Ｐ（ｘ１，ｙ１），斜率为 ｋ，如何正确写出直线的方程？
数学教学中，所设计的问题应当符合学生的 实际，否则，如果问题过大、过难，学生往往无 从下手，难以形成有效的探究活动；同样道理， 问题也不能过小、过碎，这样的引导，在很大程 度上就失去“发现”的意义．因此，所设计的问 题，要留给学生恰到好处的思维空间，而且所设 计的问题，不仅包含知识层面，还应包含认知层 面．教师备课时首先要有强烈的问题意识和较高 的设置问题的能力，这就需要教师熟悉教学内 容，熟悉教学内容所隐含的思想方法及这种思想 方法的由来．
４将教育形态打造为活动形态
课堂教学应该是一个在教师引导启发下的学 生自主发现与发明的过程．课堂上如何有效实施 自主、合作、探究的学习方式与启发、讨论、参 与的教学方式，都是我们备课时应该思考的． ４．１恰当互动，促进建构
学生是学习的主体，数学学习必须由学生主 动建构．数学课堂教学要强化学生自我意识，突 出学生的自主活动，让学生在自主活动中体验数 学知识的发生、发展、形成过程．但概念、定理 的形成有时不是一蹴而就的，需要教师在把握知 识间的内部联系下巧妙搭建“桥梁”，设置层次性 的问题，促进学生思考．而且教师还要在知识形 成过程的“关键点”上，在运用数学知识解决问题 的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点” 上，在学生“山重水复疑无路”时给予恰当点拨， 适度讲解，促进学生理解．本节课在教师７个渐 进问题的驱动下，能充分打开师生、生生互动的 “话题”，对话过程中学生既思考又合作交 流，既相互启发又相互批判，学生学的主动，学
习经历丰富、体验比较深刻，能有效促进对新知 识理解与建构．
新课标下的数学教材提倡在处理某些内容
时，鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计 算、解决实际问题．在引导学生感知“直线上点 的坐标都满足方程，以方程的解为坐标的点都在 直线上”时，教师可利用电脑中几何画板模拟实 验，让学生任意取点观察验证，促使学生从静态 和动态、局部和整体、图形和数值、具体和抽象 各个侧面去感知体验，人机互动很好地突破了学 生理解上的难点，同时培养了学生的数学直觉和 洞察力．
４．２深度引领，突出创新
对已有的问题进行变式拓展，能开阔学生的 解题思路，激起学生的求知欲和学习兴趣，而强 烈的求知欲和浓厚的学习兴趣是创新能力发展的 内在动力．本节课在得出直线的点斜式方程后， 教师可对原例题作变式拓展，熟练应用知识的同 进引出新知．
例题已知一直线经过点Ａ（－２，３），倾斜 角为４５°，求这条直线的方程．
如果去掉其中一个条件，你能通过再补充一 个条件来确定这条直线吗？
变式１已知一直线经过点Ｐ（－２，３）， ___________，写出这条直线的方程．
总结学生的举例，有如下情形：（１）斜率ｋ ＝３，－２，５
２，„；（２）倾斜角α＝３０°，１３５°，
０°，９０°，„；（３）过点（０，４），（１，１），„．教 师挑选有代表性的四个：（１）ｋ＝３；（２）α＝０°； （３）α＝９０°；（４）（０，４）让学生板演．过程中让学 生明白当直线斜率不存在时，直线的方程该如何 写？并初步感知斜截式方程的形式．
变式２若将此点改为（０，ｂ），斜率为ｋ， 直线方程是什么？与初中学习的一次方程有何 区别？
变式３已知一直线，倾斜角为
４５°，求这条直线的方程．（学生可添加一个点的 坐标也可添加直线在两坐标轴上的截距） 课堂上，教师可以围绕某个数学问题，让学
生进行“微探究”．学生通过观察分析数学事实， 猜测探求适当的数学结论或规律，尝试解释或证 明猜测的结论，让学生经历一个较为完整的探究 学习过程，能使学生探索未知的习惯、创新精
神、思维能力得到发展和培养．
本节课的最后可安排如下问题让学生探究 （如果时间不允许，可留在课后完成）．
问题：在同一坐标系中作出ｙ＝ｋｘ＋１（ｋ＝ －１，０，１）的图象，观察有何特点？
ｙ＝ｋ（ｘ＋１），ｙ－３＝ｋ（ｘ＋２）呢？你能总结 出什么样的规律？
同样地，你会探究ｙ＝２ｘ＋ｂ吗？
随着新课程范式的建立，我们必须树立与之 相适应的备课理念和教学设计程序，确立研究意 识、问题意识、自主意识和持续发展意识，从学 生、课程、活动、设计等方面进行度备课， 才能改善课堂结构让课堂更精彩，才能引起学生 兴趣让学生喜欢数学．
参考文献
１李建明．理解教材，用活教材，让课堂充满生机与活力［Ｊ］． 数学通报，２０１５，４